Campo eléctrico. Ley de Gauss.

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.
Campo.
Es una región en la cual existe una magnitud física asociada a cada punto del espacio, cuyas características dependen de las coordenadas de ese punto.

Si el campo no cambia con el tiempo se llama campo estático. El concepto de interacción gravitatoria entre el campo de un cuerpo y el otro cuerpo (masa <-> campo <-> masa) no contradice la teoría especial de relatividad, cualquier movimiento del primer cuerpo se transmite por el espacio a la velocidad de la luz, como límite; llegando esta información al segundo cuerpo en un tiempo finito y no en forma instantánea. El campo desempeña el papel de intermediario de la interacción entre los dos cuerpos.

EL CAMPO ELÉCTRICO.
La primera carga establece un campo eléctrico a su alrededor y la segunda carga interactúa con el campo eléctrico de la primera carga. Así mismo el campo eléctrico de la segunda interactúa con la primera carga.

El campo eléctrico asociado con un cierto conjunto de cargas en términos de la fuerza ejercida sobre una carga de prueba positiva q0, se define por Ē = F/q0.

Conocido el campo eléctrico en un punto P, la fuerza que actuaría sobre cualquier carga puntual q en ese punto sería F = qĒ, su magnitud es F=qE y su dirección es la misma que la de E si q es positiva y opuesta a la de E si q es negativa.

En un procedimiento operativo para medir E, q0 debe ser lo más pequeña posible, para no afectar la distribución de cargas que produce el campo.

EL CAMPO ELÉCTRICO DE LAS CARGAS PUNTUALES.
La magnitud de la fuerza sobre una carga de prueba q0, situada a una distancia r de una carga puntual q, está dada por la ley de Coulomb: F= qq0/4π€0r^2.

La magnitud del campo eléctrico en el punto donde q0 se encuentra es: E=F/q0=q/4π€0r^2.

La dirección de E es la de F, a lo largo de una línea radial que parte de q, apuntando hacia afuera si q es positiva y hacia adentro si q es negativa.

Para hallar E de un grupo de N cargas puntuales:

  1. Calcular Ei debido a cada carga i en el punto dado como si ésta fuera la única carga presente.
  2. Sumar vectorialmente los campos calculados por separado para hallar el campo resultante E en el punto.

Dipolo eléctrico.
Configuración de dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia d. Se define el momento dipolar eléctrico como el producto de la magnitud de la carga por la distancia de separación p = qd, el cual se comporta como vector, cuya dirección apunta de la carga negativa a la positiva a lo largo de la línea que las une.

El campo eléctrico en el punto P a una distancia x en el eje bisector se encuentra con la suma vectorial de los campos individuales que cada carga produce en ese punto.

LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO.
Las características de las líneas de campo son:

  1. Imaginarias.
  2. La dirección de E es tangente a las líneas de campo en cualquier punto.
  3. La densidad de líneas (número de líneas por unidad de superficie transversal) es proporcional a la magnitud de E; donde las líneas están más juntas, E es mayor.
  4. Se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas.

Las líneas de un campo eléctrico producido por una carga puntual q, deben ser radiales hacia fuera si q es positiva y hacia la carga si q es negativa.

CAMPO ELÉCTRICO DE LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGA.
Una colección de un gran número de cargas elementales puede considerarse como una distribución continua de carga, el campo de la distribución es: Ē=∫dĒ.

dĒ es el campo producido por un elemento diferencial de carga dq dentro de la distribución. Si se considera dq como una carga puntual, se puede aplicar la ley de Coulomb, entonces, la magnitud de dĒ será: dE = dq/4π€0r^2.

Donde r es la magnitud del vector que va desde dq al punto donde se calcula el campo eléctrico.

La distribución de carga puede ser lineal, superficial y volumétrica, dependiendo de las dimensiones de la región donde se encuentre distribuida la carga; en cualquier caso, se define la densidad de carga como la carga por unidad de longitud, de superficie o volumen, respectivamente.

Distribución líneas de carga: dq = (lamda)ds. (lamda) es la densidad lineal de carga y ds una longitud diferencial en la distribución de carga; si la distribución de carga es uniforme, entonces: dq = q/L ds.

Distribución superficial de carga: dq = ØdA. Ø es la densidad superficial de carga y dA un elemento de superficie en la distribución de carga; si la distribución es uniforme, entonces: dq = q/A dA.

Distribución volumétrica de carga: dq = p(rho)DV. p(rho) es la densidad volumétrica de carga y dV un elemento de volumen en la carga; si la distribución es uniforme, entonces: dq = q/V dV.

UN DIPOLO EN UN CAMPO ELÉCTRICO.
El momento dipolar eléctrico es un vector de magnitud p = qd y está dirigido desde la carga negativa hacia la carga positiva.

Si se coloca un dipolo en un campo eléctrico uniforme de magnitud E, el cual es producido por un agente externo que no se muestra, las cargas experimentarán fuerzas iguales en magnitud pero en direcciones opuestas, por lo tanto, el diplomo no sufre un movimiento de traslación.

El momento dipolar tiende a alinearse con la dirección del campo, el trabajo realizado por el campo al rotar al diplomo desde una posición inicial (theta)0 hasta una posición cualquiera, se encuentra por: W = ∫(tao)d(theta) = ∫-(tao)d(theta) = -∫pEsin(theta)d(theta) = pE(cos(theta) – cos(theta)0). El signo menos resulta porque el torque hace que el ángulo (theta) disminuya.

El cambio de energía potencial del sistema campo-dipolo es: ∆U = U(theta) – U(theta0) = -W = – pE(cos(theta) – cos(theta0)).

EL FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL.
El flujo (phi) de un campo vectorial es una propiedad de cualquier campo vectorial. En el caso de un fluido en movimiento, el campo de velocidad da la velocidad en los puntos por los que fluye el fluido, representa al flujo del fluido; el campo no está fluyendo sino que es una representación fija del flujo.

Cuando la superficie de una espira es perpendicular al campo de velocidad, la magnitud del flujo está dada en términos del gasto volumétrico del flujo del fluido: |(phi)| = vA, donde v es la magnitud de la velocidad en la ubicación de la espira.

El flujo puede considerarse como la rapidez con la cual pasa el fluido por la espira; es conveniente considerarlo como una medida del número de líneas de campo que pasan a través de la espira.

Si la dirección de la velocidad no es perpendicular al plano de la espira, el número de líneas de campo que pasan por la espira inclinada es el mismo que el que pasa a través de la superficie proyectada a un plano perpendicular a la dirección del campo de velocidad: Acos(theta). Así, la magnitud del flujo es |(phi)| = vacos(theta).

Si la espira se gira de manera que el plano sea paralelo a la dirección de campo, entonces el flujo sería cero, correspondiendo a (theta) = 90º.

El flujo es una cantidad escalar. Si el campo no es uniforme y las superficies no son planas, entonces consideramos cualquier superficie compuesta de un número infinito de elementos diferenciales de superficie que serían aproximadamente planos. (phi) = ∫v•dA.

La dirección positiva de dA es la de la normal hacia fuera de la superficie cerrada. El flujo puede ser positivo, negativo o cero a través de una superficie abierta o cerrada.

EL FLUJO DEL CAMPO ELÉCTRICO.
El flujo de campo eléctrico se define de la misma manera que el flujo de fluido, en función del número de líneas que atraviesan una superficie; ya que en el caso electrostático no hay nada que fluya.

Para campos uniformes y superficies planas: (phi)E = (sigma)Ē•Ā.

Si el campo es perpendicular a la superficie, (theta) = 0º, la ecuación es, sencillamente: |(phi)| = EAcos(theta) = EA.

En el caso en que el campo no es perpendicular a la superficie, el flujo eléctrico es igual al flujo en la proyección vertical de la superficie inclinada, Acos(theta).

La Ley de Gauss trata del flujo de campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que en forma más general, considera campos no uniformes y superficies de forma arbitrarias.

Se divide la superficie en pequeños cuadrados (elementos de superficie) de área ∆A, lo suficientemente pequeños para considerarlos planos, la dirección ∆A es normal hacia fuera, E puede considerarse constante en cada cuadrado.

Las contribuciones al flujo total de los diferentes elementos de superficie puede ser positivo, negativo o cero, según sea el valor de (theta), el ángulo que forma el vector de campo eléctrico con el vector de superficie.

El flujo es hacia fuera de la superficie, si (theta)<90º, el flujo es positivo. Si (theta)=90º, el flujo es cero. Si el flujo es hacia dentro, es decir, (theta)>90º, el flujo es negativo.

El flujo eléctrico total es (phi)E = (sigma)Ē•∆Ā.

Si el número de cuadrados es muy grande ∆A -> dA. Se convierte en una integral cerrada de superficie y el flujo total es: (phi) = ∫Ē•dĀ.

El flujo puede calcularse para cualquier superficie, abierta o cerrada. La ley de Gauss, en cambio, se refiere únicamente a superficies cerradas.

LEY DE GAUSS.
El flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga total encerrada por la superficie. (epsilon)0∫Ē•dĀ = qenc.

Este enunciado es independiente de la forma de la superficie, es decir, que la superficie que encierre a q no debe ser necesariamente esférica.

La ley de Gauss confirma que el flujo neto a través de una superficie es cero, el número de líneas que entra a la superficie es igual al número de líneas que sale de ella y que, entonces, el flujo positivo se compensa con el flujo negativo.

UN CONDUCTOR CARGADO AISLADO.
Una carga en exceso en un conductor aislado se traslada por completo a la superficie exterior del conductor. Ninguna de las cargas en exceso se encuentra en el interior del cuerpo conductor.

En una superficie gaussiana dentro del conductor, muy cerca de su superficie exterior, el flujo es cero y así también la carga encerrada por la superficie; lo mismo sucede si el conductor tiene una cavidad.

Considerando una superficie gaussiana en forma de pequeño cilindro que justamente encierra a una pequeña porción de la superficie exterior del conductor metálico cargado; E es perpendicular a la superficie del conductor y muy cerca de ella, aplicando la ley de Gauss a esta superficie, se encuentra que la única porción de la superficie gaussiana que contribuye al flujo es la base del cilindro afuera del conductor.

La integral de superficie cerrada es (epsilon)0∫Ē•dĀ = (epsilon)0EA = qenc = (sigma minúscula)A, donde (sigma minúscula) es la carga por unidad de superficie y (sigma minúscula)A es la carga encerrada por el cilindro gaussiano.

Esto lleva a una relación de proporcionalidad directa entre la magnitud del campo y la densidad superficial de carga: E = (sigma minúscula)/(epsilon)0.

APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS.
La ley de Gauss se aplica a cualquier superficie cerrada pero es de gran utilidad para el cálculo del campo eléctrico cuando la distribución de carga o la distribución de líneas de fuerza presentan alta simetría.

Las condiciones que la superficie guardiana debe cumplir para el cálculo de campo eléctrico son:

  1. El campo debe ser constante en todos los puntos de la superficie.
  2. La dirección del campo debe ser perpendicular o tangente a la superficie para que el producto escalar Ē•dĀ sea el producto de las magnitudes o cero, respectivamente.
  3. Si el producto Ē•dĀ no es cero, la magnitud de E se saca del signo de integración y la integral que queda es el área de la superficie gaussiana.

En los casos en los que no se presente simetría, la ley de Gauss no es aplicable para el cálculo del campo eléctrico.

El campo para puntos exteriores de una distribución esférica es como si toda la carga estuviese concentrada en su centro; y para puntos interiores a la distribución de carga en la superficie de un cascarón, el campo es cero; de forma que el cascarón no ejercería ninguna fuerza electrostática sobre una carga colocada dentro de él.

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